Zoom sur l’algorithme de la primaire digitale

Pour représenter le Valais dans toute sa diversité, les signataires de l’Appel Citoyen ont souhaité que ses listes électorales non-partisanes qui seront présentées en vue de l’élection de la Constituante le 25 novembre prochain respectent les critères suivants :

  • Parité entre femmes et hommes
  • Proportionnellement autant de juniors, d’actifs et de seniors que dans la population valaisanne (20% juniors, 60% actifs, 20% seniors)
  • Proportionnellement autant de candidats provenant de chaque région du district que la population de ces régions

Ces trois critères seront appliqués lors de la nomination des candidat-es. Du 6 au 9 septembre, les signataires de l’Appel pourront désigner les candidats de leur district dans une grande primaire digitale, la première de ce genre en Suisse. Lors de cette primaire, chaque votant-e nommera ses candidat-es préféré-es. A l’issue du vote, chaque « candidat-e à la candidature » aura récolté un certain nombre de voix. Puis, il faudra appliquer les critères pour identifier la liste gagnante de chaque district qui sera déposée à la Chancellerie en vue de l’élection de la Constituante. Cette liste doit refléter à la fois les critères choisis et les préférences exprimées par les votants. Question à cent sous : comment faire ?

L’équipe de l’EPFL répond à ces questions de façon résumée dans une vidéo, moins détaillée que ce texte mais plus courte https://www.youtube.com/watch?v=X6M1fpcEBQE

Comment font les autres ?

Les partis politiques traditionnels s’engagent plus ou moins informellement à assurer une certaine représentativité sur leur liste. Qui voudra autant de femmes que d’hommes, qui souhaitera au moins 10% de jeunes, qui s’attachera à représenter toutes les communes du district. Mais dans une liste partisane, il n’y a généralement pas de primaire ! Le choix final des noms qui figurera sur la liste revient au comité de parti ou à un comité de sélection ad hoc qui, sur la base de critères pas forcément tous transparents et qui tiennent autant à la disponibilité des profils de candidats (« on n’a pas réussi à trouver de jeunes ») qu’à la tactique politicienne (« il faut au moins un candidat d’Isérables sinon on perd des voix »), décidera de la composition des listes. Cette liste sera ensuite soumise à l’assemblée générale du parti. Cette méthode est très efficace : la décision peut être prise rapidement par compromis dans un petit comité. Mais quelle est sa légitimité ? On pourra argumenter que dans un parti le comité a été élu par la base et a donc toute légitimité pour choisir qui, parmi les intéressés, pourra figurer sur une liste électorale. Soit. Mais cette méthode ne s’applique plus dès lors que l’on considère que la formation d’une liste constitue une décision démocratique impliquant tous les sympathisants d’un mouvement. S’il devait décider d’impliquer tous ses sympathisants, un parti serait confronté exactement aux mêmes défis qu’Appel Citoyen : organiser une primaire juste et respectant certains critères.

Comment marche une élection ?

Il existe beaucoup de systèmes d’élections. Le plus familier, c’est l’élection au système majoritaire. Dans ce système, les votants accordent 1 ou plusieurs voix à des candidats individuels. On additionne ensuite les voix reçues par chaque candidat. S’il y a 5 places à pourvoir – comme c’est le cas pour le Conseil d’Etat valaisan selon la Constitution de 1907, les 5 meilleurs sont élus. C’est un processus connu, simple, compréhensible et transparent.

Prenons un exemple encore plus simple. Imaginons que nous ayons 3 candidats pour 2 sièges : Marie, Charlotte et Paul. Qui peut être élu à l’issue du vote ? A priori, il y a trois configurations possibles.

  • Marie et Charlotte
  • Marie et Paul
  • Charlotte et Paul

Appelons ces configurations des “listes gagnantes”. Et voyons les résultats du vote :

  • Marie          100 voix
  • Charlotte       50 voix
  • Paul               40 voix

Avec ces résultats, Marie et Charlotte sont élues puisqu’elles ont reçu plus de voix que Paul. Si l’on veut formuler cela différemment, on peut également dire que la « liste gagnante » qui remporte l’élection est composé de Marie et Charlotte car c’est cette liste qui a reçu le plus de voix parmi tous les « listes gagnantes » possibles. En effet :

  • Marie et Charlotte    100 + 50 = 150 voix
  • Marie et Paul           100 + 40 = 140 voix
  • Charlotte et Paul        50 + 40  = 90 voix

Vous ne voyez pas à quoi rime cette histoire de « liste gagnante » et pourquoi on regroupe les candidats de la sorte ? Ne vous inquiétez pas, on y vient.

Et les critères dans tout ça ?

Que se passe-t-il si, en plus de tenir compte des votes, on souhaite appliquer des critères ? Énonçons un seul critère pour commencer :  la parité femmes-hommes. Cela signifie que la « liste gagnante » doit impérativement respecter ce critère. Mais elle doit aussi être celle qui obtient le plus de votes. Comment la trouver ?

Dans une première étape, avant de tenir compte des votes, on peut déjà identifier quels sont les listes gagnantes qui respectent notre critère. Dans notre exemple, il n’y en a que deux qui respectent la parité :

  • Marie et Paul
  • Charlotte et Paul

La liste « Marie et Charlotte » ne respecte pas le critère de parité et, par conséquent, est exclue du comptage de voix.

Comptons ensuite les voix des deux listes paritaires : Marie et Paul totalisent à eux deux 140 voix, alors que Charlotte et Paul n’en totalisent que 90. Ce sont donc Marie et Paul qui sont élus. Bravo. Champagne. En passant, remarquons que cette liste paritaire n’a récolté que 10 voix de moins que la meilleure liste dans l’absolu qui était non-paritaire (Marie et Charlotte, 150 voix).

Le principe reste le même si l’on ajoute des critères. On commence par déterminer avant le vote quels sont les « listes gagnantes » possibles qui respectent tous les critères. Puis on vote. Enfin, on compte le nombre total de voix reçues dans chacune des listes possibles et on déclare vainqueur la liste qui a reçu le plus grand nombre de voix. Il n’y a pas de choix arbitraire, la décision est prise de façon rationnelle et transparente. La meilleure liste respectant à la fois les critères et les préférences des votants gagne.

Rien de bien sorcier là-dedans. En effet, avec une poignée de candidats, peu de sièges, peu de critères, tout va bien. Mais cela se corse dès que l’on ajoute des critères et qu’il commence à y avoir plus d’une poignée de sièges disponibles et de candidats à la candidature.

Le souffle de l’explosion

Comme on l’a vu ci-dessus, la première étape du processus de dépouillement du vote est d’identifier toutes les « listes gagnantes » possibles qui respectent les critères. En pratique, on va générer toutes les « listes » possibles, puis garder uniquement celles qui respectent les critères, avant de pouvoir compter les voix reçues par chacune des listes et déterminer le vainqueur. Combien de listes cela fait-il ? Dans notre exemple simple ci-dessus, avec 3 candidats et 2 sièges, il y avait 3 listes possibles. Facile. Prenons maintenant un exemple réaliste : Sion a 18 sièges pour la Constituante. Imaginons qu’il y a 30 candidats à la candidature d’Appel Citoyen qui s’y présentent.

Enumérer toutes les listes possibles de 18 membres parmi 30 candidats rappellera à certains d’entre vous des souvenirs d’école et des problèmes de loterie : « combien y a-t-il de manières différentes de tirer 18 boules parmi 30 ? ». Il y a une formule qui répond à cette question. Elle nous dit qu’il y a 86’493’225 manières différentes de tirer 18 boules parmi 30. Vous avez bien lu : avec 30 candidats pour 18 sièges à Sion, il y a plus de 86 millions de listes gagnantes possibles. Un peu trop pour les énumérer à la main. Disons qu’un ordinateur peut générer 1000 combinaisons par seconde. Il lui faudra près de 24h pour générer toutes les possibilités dans le seul district de Sion.

Et s’il n’y avait pas 30 candidats à Sion, mais 31 ? Dans ce cas, il y aurait plus de 200 millions de « listes gagnantes » possibles et il faudrait 2.5 jours à notre ordinateur pour les énumérer toutes. Pire, s’il y avait 50 candidats sédunois pour 18 sièges, il faudrait énumérer 18 mille milliards de listes gagnantes possibles et cela prendrait… 570 ans. Heureusement pour nous, il n’y a que 41 candidats à Sion pour la primaire d’Appel Citoyen. Cela ne représente que 200 milliards de liste gagnantes possibles et il ne faut que 6.5 ans pour les énumérer toutes. Le résultat pourra donc être connu avant 2025. Nous sommes sauvés.

On parle d’explosion combinatoire pour caractériser ce genre de cas, qui est relativement simple à comprendre mais très difficile à résoudre en pratique.

 

Mais alors, comment faire?

Pour trouver une solution dans un temps réaliste pour ce genre de problème de combinatoire, plusieurs méthodes existent. Nous en décrirons deux. La clef consiste à ne pas énumérer toutes les possibilités, mais à se concentrer sur certaines.

La première approche, c’est de procéder de manière analogue au sac à dos qu’on doit remplir pour monter à la Cabane Rambert. Il y a aussi des critères : on doit prendre assez de nourriture, mais aussi des habits chauds, de l’eau, et il faut que tout ça ne pèse pas trop lourd. Un algorithme simple pour remplir le sac à dos consiste à trier les éléments par ordre d’importance, puis à les mettre un à un dans le sac jusqu’à ce qu’il soit rempli. L’inconvénient, c’est qu’on n’est pas certain qu’il n’y avait pas une manière plus optimale de le remplir pour qu’il soit moins lourd et contienne quand même tout le nécessaire. Dans le cas de notre vote, on procéderait de la même manière en rangeant tous les candidats par critères, et dans l’ordre de voix reçues. Puis on sélectionnerait, par exemple, d’abord une femme, puis un jeune, puis quelqu’un de telle ou telle région, dans l’ordre des voix. De telle manière à ce qu’on remplisse  les critères fixés. Mais avec cette méthode, il se peut tout à fait qu’on aboutisse à une liste respectant les critères, mais pas à la « meilleure » liste. C’est le défaut de cette approche. Or, si on l’applique à notre vote, ça signifie qu’on n’est pas sûr d’obtenir la meilleure liste possible, celle qui a obtenu le plus de voix, puisqu’on a choisi de façon arbitraire une partie des gagnants. Donc, ça ne va pas.

La deuxième approche, celle utilisée par l’EPFL avec qui nous collaborons, fonctionne différemment. Elle est basée sur la programmation linéaire. L’idée est de transformer notre problème en un groupe d’équations linéaires à plusieurs inconnues, puis de le résoudre. Nous n’allons pas rentrer dans les détails mathématiques mais procéder par analogie. Imaginons que chaque solution possible dans notre problème soit un point sur une carte en relief du Valais. La solution optimale que nous cherchons, c’est le point le plus haut en altitude. Grâce à la programmation linéaire, plutôt que d’explorer chaque point individuellement (ce qui prendrait trop de temps), nous allons prendre du recul, voir quelle est la géométrie globale de notre espace de possibilités, s’en servir pour marquer les points les plus hauts et explorer seulement ces points-là. De cette manière, en quelques essais, nous allons trouver le point le plus haut. L’avantage crucial de cette méthode, c’est qu’elle garantit mathématiquement que la solution trouvée est effectivement la meilleure. Une vulgarisation (en anglais) de l’algorithme de l’EPFL est fournie ici. Vous pouvez également tester l’algorithme grâce à une application développée par l’équipe qui vous permet de fixer vos propres contraintes et vos listes de candidats https://fair-voting-demo.herokuapp.com

Le prix de la diversité

Choisir démocratiquement des critères, voter pour des candidats, et déterminer les vainqueurs en garantissant que les critères initiaux sont respectés : la démarche de la primaire digitale Appel Citoyen est une innovation politique. Aujourd’hui, la Constitution ne prévoit qu’un critère pour la représentation des citoyens au Grand Conseil : le critère géographique qui demande que chaque district soit représenté proportionnellement à sa population. A l’avenir, on peut imaginer que les citoyens conviennent ensemble de critères différents d’une élection à l’autre. Ainsi, les principes idéaux de représentation ne sont plus gravés dans le marbre constitutionnel mais s’adaptent démocratiquement aux défis spécifiques de leur époque, voire aux objets probables de la législature à venir.

On pourrait s’offusquer de l’élimination de certains candidats au profit d’autres ayant reçu moins de voix, et ce, pour garantir le respect de critères choisis d’avance. Mais dans une société où « tous sont égaux, mais certains sont plus égaux que les autres », cette élimination constitue le prix de la diversité. Un prix somme toute assez modeste pour maintenir la démocratie vivante, dynamique et véritablement représentative.

Florian Evéquoz

 

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